高超声速飞行器的模型跟随控制方法及其仿真(7)
定理3.1 对于任意给定的正定矩阵W，若存在唯一的满足Lyapunov方程，
(3.1.1)
的正定矩阵，则系统（A，B，C，D）为稳定的。
考虑高超声速飞行器的线性模型，选择一个正定的对角矩阵diag(1,2,3,4,5)，就可以利用李雅普诺夫判据判定出系统的稳定性。
稳定性分析由MATLAB实现，Lyapunov方程可以由控制系统工具箱中提供的lyap()函数容易地求解出来，该函数的调用格式为
其中函数posdef()用来判断矩阵V的正定性，该函数在求V的正定性过程中使用，其调用格式为
其中key返回矩阵V正定性的标记，若key=1则表示该矩阵为正定矩阵，若key=0则表示半正定矩阵，若key=－1则表示矩阵V为负定矩阵。另一个向量sdet返回各个左上角子矩阵的行列式。
>> G=ss(A,B,C,D);
>> W=diag([1,2,3,4,5]);
>> V=lyap(A,-W);
>> [key,sdet]=posdef(V)
key =
0
sdet =
1.0e+041 *
0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -2.7006
由以上结果可以看出，Lyapunov方程的解V不是正定矩阵，因为其左上角子矩阵的行列式有负的，因此由Lyapunov判据可知，系统为不稳定的。
另外，还可以通过一种更简便的方法判断系统的稳定性，直接求原系统的特征根：
>> eig(A)
ans =
-0.9649
0.8018
-0.0000 + 0.0027i
-0.0000 - 0.0027i
0.0000
可以发现有特征根具有正的实部，故而系统是不稳定的。由于高超声速飞行器纵向模型是不稳定的系统，若不对其进行控制，系统则毫无意义，必须要设计控制器使其稳定且有较好的性能。
3．2 系统的可控性与可观性分析
对于用状态空间描述的高超声速飞行器线性系统，其性能指标可以用可控性和可观测性来描述。因此，需要对系统进行可控性和可观性分析，以便确定是否能找到一个控制作用，使系统能从一个特定状态经过特定时间后变为零，或者对给定了系统有限时间间隔内的输出值，能否推导出系统的状态向量值。这就是高超声速飞行器系统的可控性和可观性问题。
3.2.1 可控性分析
定义3.2.1 考虑控制系统模型(A,B,C,D)。并指定一个时间段t1，若存在一个控制信号u(t)。它能将状态xi从任意的初始位置引xi(0)驱动到原点xi(t1)＝0,则称该状态是可控的。若系统中所有的状态都是可控的，则称系统为完全可控的。
因为系统的完全可控性只取决于状态方程中的(A，B)矩阵，所以我们经常称之为(A,B)可控。
根据解耦线性化后的高超声速飞行器模型，构造如下一个相似变换矩阵Tc (3.2.1)
系统是5阶的。矩阵Tc称为系统的可控性变换矩阵，它的秩称作系统的可控性指标，它的值就是系统可控状态的数目。如果系统完全可控，则rank(Tc)=5。
系统可控性分析由MATLAB实现：>> rank(Tc)
ans =
5
由程序运行结果可知Tc矩阵的秩为5，等于系统的阶次，所以可知本文引用的高超声速飞行器的线性系统为完全可控的。
3.2.2 可观性分析
定义3.2.2 考虑控制系统的状态方程模型(A,B,C,D)。在一个指定的有限时间段t1中，由观测到的输出信号y[0,t1]和给定的初始信号xi(0)若可以唯一地确定出当前时刻的状态xi(t)，则称状态xi(t)是可观测的。若系统中所有的状态都是可观测的，则称系统是完全可观测的。