1965年，冯康发表论文《基于变分原理的差分格式》，这篇论文是国际学术界认可我国有能力独立研究有限元法的主要根据[21,22]，标志着有限元法在我国从此诞生。1974年，我国著名的力学家，教育学家徐芝纶院士第一次将有限元法引入我国，他编著了我国首部有限元法著作《弹性力学问题的有限单元法》[23]，从此开创了我国有限元法的发展历史。1975年，谢干权发表论文《三维弹性问题的有限单元法》[24]，标志着我国学者在与世隔绝的情况下，独立发展出应用于三维实践的有限元法和有限元工程软件。文中还在全世界率先得到了三维有限元的超收敛结果。

2.2 LS-DYNA理论基础

2.2.1 碰撞的积分算法

1976年，J.O.Hallquist博士在美国Lawrencw Livermore国家实验室，主持开发完成了DYNA程序。1988年，J.O.Hallquist博士创建了LSTC公司，从此DYNA程序走向了商业化发展的道路，并改名为LS-DYNA[25,26]。1996年，LSTC公司与ANSYS公司联合推出了非线性显式动力学软件LS-DYNA。

LS-DYNA程序是功能齐全的几何非线性、材料非线性和接触非线性程序[27]。它以Lagrange算法为主，兼有ALE和Euler算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，兼有静力分析功能；军用和民用相结合的非线性显式动力学软件。它是显式动力学软件的鼻祖，在该领域居于重要地位。

船-冰碰撞过程属于非线性动态响应过程，需要选择合适的本构模型，才能获得准确的数值模拟结果。LS-DYNA软件能够准确模拟船-冰碰撞过程，为船-冰碰撞提供可靠的仿真工具。LS-DYNA采用显式积分法进行求解[28]，显式积分法采用动力学方程中的一些差分格式，不需要直接求解切线刚度，也不用进行平衡迭代，大大提高了计算效率，时间步长只要取得足够小，一般就不会出现收敛性问题。因此显式积分法需要的内存也比隐式算法要少的多。且其数值计算过程可以很容易的进行并行计算，编制程序较简单，但显式积分容易造成沙漏。

对隐式算法来说[29,30]，每一个增量步均要对静态平衡方程进行迭代求解，且每一次均要求解多个线性方程，这个过程需要占用非常大的计算资源以及磁盘空间。这个算法中的增量步可以较大，至少可以比显式算法大，然而在具体操作中要受到迭代次数的约束，因此必须要选取一个合理值。

对于船-冰碰撞问题，属于短时间高度非线性问题，选取显示算法具有明显的优越性。本文采用的也是显式算法。

2.2.2 沙漏理论

有限元分析中的沙漏模式是一种零能变形模式，即有变形而无应力或应变。沙漏仅发生在缩减积分单元体（单积分点），例如一个四边单元，如果只定义一个积分点，那么在计算过程中只要这四个边在这个积分点四周即可，而当它们的形状发生畸变时，LS-DYNA却不会采取措施。这种畸变就是产生沙漏的原因[31]。在实际计算过程中，由于单点积分计算非常快，所以可以允许沙漏出现，但要努力控制沙漏模式。通常通过施加内力来阻止沙漏模式的发生。在LS-DYNA中，通过引入内部节点力来阻碍沙漏模式的产生，如图2-1。N1-N4是一个单元的四个节点，f1-f4是作用在各节点上的沙漏力。